À 16 ans, Lasha Jaiani reçoit une bourse pour étudier à la Whitgift School de Londres. En 2018, il est appelé pour disputer le championnat d'Europe de rugby à XV des moins de 18 ans 2016 avec la Géorgie.

À la suite de l'obtention de son diplôme à Whitgift, il intègre l'université d'Exeter, et évolue alors en BUCS. Il rejoint l'équipe moins de 20 ans de la Géorgie, pour participer aux championnats du monde junior 2017 et 2018.

Il participe à la préparation à la coupe du monde 2019, mais n'est pas retenu dans le groupe final de la Géorgie, et débutera sous le maillot géorgien lors du REC 2020 face à la Belgique, puis est ensuite rappelé pour disputer la coupe d'automne.

Pour l'exercice 2019-2020, il est élu sportif de l'année de l'université d'Exeter. Début 2021, il signe aux Wasps qui évoluent en Premiership, après l'obtention de ses diplômes.

Il rentre alors en Géorgie en juin de la même année et intègre la franchise géorgienne du Black Lion qui évolue en Rugby Europe Super Cup. En club, il rejoint le RC Iunkerebi.

En 2022, l'USON Nevers Rugby annonce le recrutement de Jaiani.